미분 대수

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1. 개요

미분 대수는 가환환, 결합 대수, 미분으로 구성된 대수 구조를 연구하는 수학 분야이다. 미분은 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 정의되며, 이를 통해 미분환, 미분체, 미분 등급 대수와 같은 다양한 개념을 정의한다. 미분 대수 준동형, 미분체 확대, 미분 아이디얼과 같은 개념은 미분 대수의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 미분 대수는 기호적 적분, 미분 방정식 풀이, 비선형 동적 시스템 분석 등 다양한 분야에 응용되며, 소거 방법, Ritt의 축소 알고리즘, 로젠펠드-그뢰브너 알고리즘과 같은 도구를 사용한다. 리트 문제, 콜친 연쇄 추측, 야코비 경계 문제 등 미분 대수 분야에는 아직 해결되지 않은 문제들이 존재한다.

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미분 대수
개요
추상대수학에서 미분대수의 한 예
분야	추상대수학
하위 분야	가환대수학 미분 방정식
관련 개념	미분환 미분체 미분 모듈 미분 연산자 데릭션 차등 등급 대수 대수적 미분 방정식
정의
미분 대수	F 대수 A와 데릭션(미분) ∂: A → A의 쌍 (A, ∂)
데릭션(미분) 조건	∂(ab) = (∂a)b + a(∂b) (라이프니츠 법칙)
상수환	{a ∈ A \| ∂(a) = 0}
예시
다항식환	F[x] (F는 체), 표준적인 미분 d/dx
형식적 로랑 급수환	F((t)) (F는 체), 미분 D = d/dt
유리 함수체	C(t) (C는 복소수체), D = d/dt
미분환	(R, D), R은 미분환, D는 R 위의 데릭션
함수환	C∞(R), 미분 d/dx
행렬환	Mn(C∞(R)), 미분은 각 성분에 적용
응용
대수적 미분 방정식 연구	미분 갈루아 이론 미분환 미분체

2. 정의

미분 대수는 가환환 $R$ 위의 함수 $\partial : R \to R$ 로 정의되며, 다음 두 가지 조건을 만족한다.

$\partial(r_1 + r_2) = \partial r_1 + \partial r_2$
$\partial(r_1 r_2) = (\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)$ (라이프니츠 곱 규칙)

여기서

R

의 모든 원소

r_1

과

r_2

에 대해 위 조건이 성립한다. 이러한 항등식들은

\partial (0)=\partial (1) = 0

과

\partial (-r)=-\partial (r)

을 만족시킨다. 즉, 미분은 정수 위에서 선형이다.

하나 이상의 미분을 갖춘 가환환

R

은 '미분 환'이라고 하며, 이러한 미분들은 쌍별로 교환한다. 즉, 모든 미분 쌍과 모든

r\in R

에 대해

\partial_1(\partial_2 (r))=\partial_2(\partial_1 (r))

이 성립한다.^[1] 미분이 하나만 있을 때는 '상미분 환', 그렇지 않으면 '편미분 환'이라고 부른다.

'미분 체'는 체이면서 미분 환인 것이다. 미분 체

K

위의 '미분 대수'

A

는,

K

를 부분환으로 포함하며,

A

의 미분을

K

로 제한한 것이

K

의 미분과 같은 미분 환이다.

미분 환의 '상수'는 모든 미분

\partial

에 대해

\partial r=0

을 만족하는 원소

r

이다. 미분 환의 상수는 부분환을 형성하며, 미분 가능한 체의 상수는 부분체를 형성한다.^[1]

환

R

과 그 위의 사상

\partial: R \to R

의 짝

(R, \partial)

가 '미분환'이란, 위에서 언급된 두 조건을 만족하는 것을 말한다. 여기서 환은 가환적이지 않을 수도 있으므로, 곱의 가환성이 보장되지 않는 상황에서는 주의해야 한다.

미분체

K

에 대해, 그 '상수체'는

\{u \in K | \partial(u) = 0\}

로 주어진다.

체

K

위의 '미분 다원환'은 스칼라 곱과 호환되는 미분을 갖춘

K

-다원환

A

를 말한다.

2. 1. 미분

가환환

K

와

K

위의 결합 대수

(A, +, 0_A, \cdot, 1_A)

, 그리고

(A, A)

-쌍가군

_AM_A

가 주어졌다고 하자.

M

값의

A

위의 '''미분'''은 다음 조건을 만족하는

K

-선형 변환

\partial\colon A\to M

이다.

:

\partial(ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad\forall a,b\in A

(곱 규칙)

일반적으로

_AM_A={}_AA_A

를 사용한다.

2. 2. 미분 대수

가환환

K

위의 결합 대수

(A,+,0_A,\cdot,1_A)

와 미분을 이루는 자기 사상

\partial\colon A\to A

로 구성된다.

정수환

\mathbb Z

위의 결합 대수는 환이므로,

K=\mathbb Z

인 경우 그 위의 미분 대수를 '''미분환'''(微分環, differential ring^영어)이라고 한다.

K

가 체를 이루는 경우,

(K,A,\partial)

를 '''미분체'''(微分體, differential field^영어)라고 한다.

등급을 고려하여 일반화하면 '''미분 등급 대수'''를 얻는다.

2. 3. 미분 대수 준동형

같은 가환환

K

위의 두 미분 대수

A

,

B

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''미분 대수 준동형'''(微分代數準同形, differential algebra homomorphism^영어)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉,

K

-결합 대수 준동형

f\colon A\to B

가 다음 조건을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

:

f(\partial a)=\partial f(a)\qquad\forall a\in A

'''미분체 확대'''(微分體擴大, differential field extension^영어)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

3. 역사

조셉 리트는 미분 방정식 체계를 다양한 정규 형식으로 축소하려는 시도가 만족스럽지 않다고 보았기 때문에 미분 대수를 개발했다. 그러나 대수적 소거 방법과 대수적 다양체 이론의 성공은 리트가 미분 방정식에 대해 유사한 접근 방식을 고려하도록 이끌었다. 그의 노력은 초기 논문 ''대수적 미분 방정식 체계에 의해 정의된 함수의 다양체''와 두 권의 책, ''대수적 관점에서의 미분 방정식'' 및 ''미분 대수''로 이어졌다. 리트의 제자인 엘리스 콜친은 이 분야를 더욱 발전시켜 ''미분 대수와 대수적 군''을 출판했다.

4. 성질

미분환, 미분체, 미분 다원환 등의 개념은 미분 대수의 특수한 경우이다.

정수환 $\mathbb Z$ 위의 결합 대수는 환이므로, $K=\mathbb Z$ (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 '''미분환'''(微分環,differential ring^영어)이라고 한다. 또한, $K=\mathbb Z$ 이며 $A$ 가 체를 이루는 경우, $(K,A,\partial)$ 를 '''미분체'''(微分體, differential field^영어)라고 한다.

환 $R$ 과 그 위의 사상 $\partial\colon R\to R$ 의 짝 $(R, \partial)$ 가 '''미분환'''이란, 다음 두 조건을 만족하는 경우를 말한다.

$\partial(x+y) = \partial x + \partial y\quad(\forall x, y \in R)$
$\partial(x y) = (\partial x) y + x (\partial y)\quad(\forall x, y \in R)$

즉,

\partial

가

R

의 가법군 사이의 준동형 (가법적 사상)이며 곱에 관하여 라이프니츠 법칙을 만족해야 한다.

'''미분체'''는 미분을 갖춘 가환체

K

를 말한다. 여기서 미분은 체의 구조와 양립하는 (즉, 나눗셈과 일치하는) 것으로 간주해야 하며, 잘 알려진 몫의 미분 법칙

:

\partial\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{\partial(u)v - u\partial(v)}{v^2}

은 곱의 법칙에서 유도된다.

체

K

위의 '''미분 다원환'''은 스칼라 곱과 호환되는 미분을 갖춘

K

-다원환

A

를 말한다. 즉, 각 미분

\partial

는 계수체와 원소별로 가환한다.

:

k \in K \implies \partial(kx) = k\partial x\quad (\forall x\in A)

리 대수

\mathfrak{g}

위의 미분

\partial

는,

K

-선형 사상

\partial \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}

이며, 리 괄호곱에 관한 라이프니츠 법칙

\partial([a, b]) = [a, \partial(b)] + [\partial(a), b]

를 만족하는 것을 말한다.

미분 대수의 구조를 이해하는 데 중요한 개념은 다음과 같다.

상수: 미분환에서 모든 미분에 대해 0이 되는 원소
고차 미분: 여러 미분 연산자들의 합성
미분 아이디얼: 미분 연산에 대해 닫혀 있는 아이디얼

4. 1. 상수

미분환에서 모든 미분에 대해 0이 되는 원소를 상수라고 하며, 이들은 부분환을 형성한다.^[1] 미분 가능한 체의 상수는 부분체를 형성한다.

정수환은

(\mathbb{Z}. \delta)

이고, 모든 정수는 상수이다.

1의 미분은 0이다. $\delta(1)=\delta(1 \cdot 1)=\delta(1) \cdot 1 + 1 \cdot \delta(1) = 2 \cdot \delta(1) \Rightarrow \delta(1)=0$ .
또한, $\delta(m+1)=\delta(m)+\delta(1)=\delta(m) \Rightarrow \delta(m+1)=\delta(m)$ 이다.
귀납법에 의해, $\delta(1)=0 \ \wedge \ \delta(m+1)= \delta(m) \Rightarrow \forall \ m \in \mathbb{Z}, \ \delta(m)=0$ 이다.

유리수체는

(\mathbb{Q}. \delta)

이고, 모든 유리수는 상수이다.

모든 유리수는 정수의 몫이다.
: $\forall r \in \mathbb{Q}, \ \exists \ a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{Z}/ \{ 0 \}, \ r=\frac{a}{b}$
정수의 미분이 0임을 인식하여 몫에 대한 미분 공식을 적용하면:
: $\delta (r)= \delta \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\delta(a) \cdot b - a \cdot \delta(b)}{b^{2}}=0$ 이다.

미분체 K에 대해, 그 '''상수체''' (field of constants)는

k \coloneqq \{ u \in K | \partial(u) = 0 \}

로 주어진다.

A가 단위적 다항환이면, 그 곱셈 단위 원을 1로 하여 $1=\partial(1) = 0$ 이다( $1=\partial(1) = \partial(1 \times 1) = \partial(1) + \partial(1)$ ). 따라서, 예를 들어 표수 0인 미분체 K는 항상 유리수체를 K의 상수체의 부분체로 포함한다.

4. 2. 고차 미분

유도 연산자 또는 고차 유도는 여러 유도의 합성이다. 미분환의 유도는 교환되어야 하므로, 유도의 순서는 중요하지 않으며, 유도 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n},

여기서

\delta_1, \ldots, \delta_n

는 고려 중인 유도이고,

e_1, \ldots, e_n

는 음이 아닌 정수이며, 유도의 지수는 이 유도가 연산자에서 합성된 횟수를 나타낸다.

합

o=e_1+ \cdots +e_n

을 유도의 ''차수''라고 한다.

o=1

이면 유도 연산자는 원래 유도 중 하나이다.

o=0

이면 항등 함수가 되며, 일반적으로 차수 0의 고유한 유도 연산자로 간주된다. 이러한 규칙에 따라 유도 연산자는 고려 중인 유도 집합에 대한 자유 가환 모노이드를 형성한다.

미분환의 원소

x

의 ''도함수''는 유도 연산자를

x

에 적용하는 것으로, 위의 표기법을 사용하면

\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x)

이다. ''진 도함수''는 양의 차수의 도함수이다.

4. 3. 미분 아이디얼

미분환

R

의 미분 아이디얼

I

는 환의 아이디얼이며 환의 미분에 대해 닫혀 있다. 즉, 모든 미분

\partial

와 모든

x\in I

에 대해

\partial x\in I

이다. 미분 아이디얼은 전체 환이 아닌 경우 진 부분 아이디얼이라고 한다. 혼동을 피하기 위해 미분 아이디얼이 아닌 아이디얼을 때때로 ''대수적 아이디얼''이라고 한다.

미분 아이디얼의 근기는 대수적 아이디얼로서의 해당 근기와 동일하다. 즉, 아이디얼 내에 거듭제곱을 가진 환 원소의 집합이다. 미분 아이디얼의 근기도 미분 아이디얼이다. 근기 또는 완전 미분 아이디얼은 근기와 동일한 미분 아이디얼이다. 소 미분 아이디얼은 일반적인 의미에서 소인 미분 아이디얼이다. 즉, 곱이 아이디얼에 속하는 경우 적어도 하나의 인수가 아이디얼에 속한다. 소 미분 아이디얼은 항상 근기 미분 아이디얼이다.

Ritt의 발견은 대수적 아이디얼의 고전적 이론이 미분 아이디얼에 적용되지 않지만, 그 상당 부분이 근기 미분 아이디얼로 확장될 수 있으며, 이것이 미분 대수에서 근본적인 이유가 된다는 것이다.

미분 아이디얼의 임의의 집합의 교집합은 미분 아이디얼이고, 근기 미분 아이디얼의 임의의 집합의 교집합은 근기 미분 아이디얼이다.

따라서 미분환의 부분 집합

S

가 주어지면, 각각 모든 대수적 아이디얼, 모든 미분 아이디얼, 그리고 이를 포함하는 모든 근기 미분 아이디얼의 교집합인 세 개의 아이디얼이 생성된다.

S

에 의해 생성된 대수적 아이디얼은

S

의 원소의 유한한 선형 조합의 집합이며 일반적으로

(S)

또는

\langle S \rangle

로 표시된다.

S

에 의해 생성된 미분 아이디얼은

S

의 원소와 이러한 원소의 모든 차수의 도함수의 유한한 선형 조합의 집합이다. 일반적으로

[S]

로 표시된다.

S

가 유한할 때,

[S]

는 일반적으로 대수적 아이디얼로 유한 생성되지 않는다.

S

에 의해 생성된 근기 미분 아이디얼은 일반적으로

\{S\}

로 표시된다. 다른 두 경우와 유사한 방식으로 해당 원소를 특징짓는 알려진 방법은 없다.

원소

\exp(y)

는 미분환

(\mathbb{C} \{ y, \exp(y) \}, \partial_{y})

에서 단순히 미분 아이디얼

[\exp(y)]

를 생성한다.

5. 예시

단위 다항 환 ''A''의 곱셈 단위 원을 로 하면, 이다(). 따라서, 예를 들어 표수가 0인 미분체 ''K''는 항상 유리수체를 ''K''의 상수체의 부분체로 포함한다.
임의의 환은 영 준동형 사상 (그 임의의 원소를 영원으로 사상)을 자명한 미분으로 간주하여 미분환이 될 수 있다.
일변수 유리 계수 유리식체 는 로 정규화함으로써 결정되는, 미분체로서 유일한 구조를 가진다(체의 공리 및 미분의 공리는 미분이 에 관한 통상의 미분이 되도록 보장한다). 예를 들어, 곱의 가환성과 곱의 미분 공식에 의해, 가 성립한다.

미분체 는 미분 방정식 의 해를 가지지 않지만, 지수 함수 를 포함하는 보다 큰 미분체로 확대하여 이 미분 방정식이 거기서 해를 가지도록 할 수 있다. 임의의 미분 방정식계에 대한 해를 가지는 미분체를 differentially closed field|미분 닫힌 체^영어라고 한다. 자연스러운 대수적 또는 기하학적 대상으로는 나타나지 않지만, 이러한 미분체는 존재한다. (농도를 적절히 위에서 억제할 때) 모든 미분체는 단일한 큰 미분 닫힌 체 안에 매립할 수 있다. 미분체는 미분 갈루아 이론의 연구 대상이다.

자연스럽게 생기는 미분의 예로는 편미분, 리 미분, 팡슈렐 미분, 대수의 원소에 관한 교환자 등이 있다.

5. 1. 교환자

가환환 K 위의 결합 대수 A의 원소 a ∈ A가 주어졌을 때, 교환자 [a,-] : b ↦ [a,b] = ab - ba를 정의하면 (K, A, [a,-])는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

:[a,bc] = abc - bca = abc - bac + bac - bca = [a,b]c + b[a,c]

5. 2. 다항식환

환

R

가 주어졌을 때, 다항식환

R[x]

위에 선형 변환

\partial\colon R[x]\to R[x]

을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\partial \colon rx^n\mapsto\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}\qquad\forall r\in R,\;n\in\mathbb N

그러면

(R,R[x],\partial)

는 미분 대수를 이룬다.

5. 3. 매끄러운 함수

매끄러운 다양체

M

위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합

\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

는 실수 벡터 공간을 이루며, 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다. 벡터장은

\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

위에 미분 연산자로 작용하며, 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

:

Xf=X^\mu\partial_\mu f

따라서,

(\mathbb R,\mathcal C^\infty(M;\mathbb R),X)

는 미분 대수를 이룬다.

5. 4. 리 대수

가환환 K 위의 리 대수 $\mathfrak{g}$ 위의 미분 $\partial \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$는 K-선형 변환이며, 다음의 리 괄호곱에 대한 라이프니츠 법칙을 만족시킨다.

:$\partial([a, b]) = [a, \partial(b)] + [\partial(a), b]$

임의의 $a\in\mathfrak{g}$에 대해 $ad(a):x \mapsto [a,x]$ (즉, $ad$는 리 대수의 수반 표현)가 $\mathfrak{g}$ 위의 미분이 되는 것은 야코비 항등식에 따른다. 이렇게 얻어지는 미분을, 리 대수 $\mathfrak{g}$의 '''내부 미분'''이라고 부른다.

리 대수의 내부 미분을 그 보편 포락 대수로 확장하여, 보편 포락 대수를 미분 다원환으로 만들 수 있다.

5. 5. 미분체

미분체는 미분을 갖춘 가환체 ''K''이다. 여기서 미분은 체의 구조와 양립하는(즉, 나눗셈과 일치하는) 것으로 간주해야 하며, 잘 알려진 몫의 미분 법칙은 다음과 같다.

:

\partial\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{\partial(u)v - u\partial(v)}{v^2}

이는 곱의 법칙에서 유도된다.

미분체 ''K''에 대해, 그 상수체는

k \coloneqq \{ u \in K | \partial(u) = 0 \}

로 주어진다.

미분체의 예시는 다음과 같다.

$(\operatorname{Mer}(\operatorname{f}(y)), \partial_{y} )$ 는 단일 표준 미분을 갖는 유리형 함수 미분체이다.
$(\mathbb{C} \{ y \}, p(y)\cdot \partial_{y} )$ 는 모든 다항식 $p(y)$ 에 대해 도함수로 선형 미분 연산자를 갖는 미분체이다.
Pincherle derivative|핀처레 미분^영어

6. 소거 방법

소거 방법은 미분 방정식 집합에서 특정 미분값을 우선적으로 제거하는 알고리즘으로, 일반적으로 미분 방정식 집합을 더 잘 이해하고 풀기 위해 사용된다.

소거 방법에는 특성 집합 방법, 미분 그뢰브너 기저 방법, 결과식 기반 방법이 있다.^[1]

소거 알고리즘에서 사용되는 일반적인 연산에는 다음이 포함된다.

1. 미분, 다항식 및 다항식 집합의 순위 매기기

2. 다항식의 최고차 미분, 초기값 및 분리자 식별

3. 다항식 축소

4. 특수 다항식 집합 생성

6. 1. 다항식 집합의 순위

도함수의 랭킹은 전순서 관계이며, *허용 가능한 순서*로 정의된다.^[1]

허용 가능한 순서는 다음 두 가지 조건을 만족한다.

1.

\forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p.

2.

\forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q.

각 도함수는 정수 튜플을 가지며, 단항식 순서는 도함수의 정수 튜플을 랭킹하여 도함수를 랭킹한다. 정수 튜플은 미분 불확정 변수, 도함수의 멀티 인덱스를 식별하며 도함수의 차수를 식별할 수 있다. 랭킹 유형에는 다음이 포함된다.

'''순서 랭킹''': $\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$
'''소거 랭킹''': $\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$

이 예에서 정수 튜플은 미분 불확정 변수와 도함수의 멀티 인덱스를 식별하며, 사전식 단항식 순서

\ge_\text{lex}

는 도함수의 랭크를 결정한다.

:

\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n)

.

:

\eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k.

6. 2. 로젠펠드-그뢰브너 알고리즘

로젠펠드-그뢰브너 알고리즘은 근원 미분 아이디얼을 정규 근원 미분 아이디얼의 유한한 교집합으로 분해한다. 이러한 정규 미분 근원 아이디얼은 특성 집합으로 표현되며, 반드시 소 아이디얼일 필요는 없고, 표현이 반드시 최소일 필요도 없다.^[1]

미분 다항식

p

가 미분 다항식 집합

S

에서 생성된 아이디얼의 멤버인지 여부를 결정하는 문제를 *멤버십 문제*라고 한다. 로젠펠드-그뢰브너 알고리즘은 그뢰브너 기저 집합을 생성한다. 이 알고리즘은 부분적으로 축소된 나머지 다항식이 그뢰브너 기저에 의해 생성된 대수적 아이디얼의 멤버인 경우에만 다항식이 아이디얼의 멤버임을 결정한다.

로젠펠드-그뢰브너 알고리즘은 미분 방정식 해의 테일러 급수 전개를 생성하는 데 도움이 된다.

7. 응용

미분 대수는 미분 방정식의 해의 존재 여부를 결정하고, 해를 구하는 데 사용된다. 일련의 미분 다항식 방정식이 해를 갖는지 여부를 결정할 수 있다.^[1]

카오스를 포함하는 비선형 동적 시스템 연구에서 연구자들은 미분 제거를 사용하여 미분 방정식을 단일 상태 변수를 포함하는 상미분 방정식으로 줄였다. 그들은 대부분의 경우 성공했으며, 이를 통해 근사해를 개발하고, 카오스를 효율적으로 평가하고, 랴푸노프 함수를 구성할 수 있었다. 연구자들은 세포 생물학, 구획 생화학 모델, 매개변수 추정 및 생화학 반응에 대한 준정상 상태 근사(QSSA)를 이해하기 위해 미분 제거를 적용했다. 미분 그뢰브너 기저를 사용하여 연구자들은 비고전적인 대칭 특성을 비선형 미분 방정식에 대해 조사했다. 다른 응용 분야로는 제어 이론, 모델 이론, 대수 기하학 등이 있다. 미분 대수는 미분-차분 방정식에도 적용된다.

7. 1. 기호적 적분

기호적 적분은 에르미트 축약, 치코프스키 알고리즘, 라자드-리오보-트라거 알고리즘, 호로위츠-오스트로그라드스키 알고리즘, 제곱 인수분해, 특수 및 정규 다항식으로의 분할 인수분해와 같이 다항식과 그 도함수를 포함하는 알고리즘을 사용한다.^[1]

7. 2. 미분 방정식

미분 대수는 미분 방정식의 해의 존재 여부를 결정하고, 해를 구하는 데 사용된다. 일련의 미분 다항식 방정식이 해를 갖는지 여부를 결정할 수 있다. 전체 차수 랭킹은 대수적 제약 조건을 식별할 수 있다. 제거 랭킹은 하나 이상의 선택된 독립 변수가 미분 방정식을 표현할 수 있는지 여부를 결정할 수 있다. 삼각 분해 및 제거 순서를 사용하면 단계별 방식으로 한 번에 하나의 미분 미지수를 풀어 미분 방정식을 풀 수 있다. 또 다른 방법은 알려진 해 형태의 미분 방정식 클래스를 만드는 것이다. 미분 방정식을 해당 클래스와 일치시키면 방정식의 해가 식별된다. 미분-대수 방정식 시스템의 수치 적분을 용이하게 하는 방법이 있다.^[1]

카오스를 포함하는 비선형 동적 시스템 연구에서 연구자들은 미분 제거를 사용하여 미분 방정식을 단일 상태 변수를 포함하는 상미분 방정식으로 줄였다. 그들은 대부분의 경우 성공했으며, 이를 통해 근사해를 개발하고, 카오스를 효율적으로 평가하고, 랴푸노프 함수를 구성할 수 있었다. 연구자들은 세포 생물학, 구획 생화학 모델, 매개변수 추정 및 생화학 반응에 대한 준정상 상태 근사(QSSA)를 이해하기 위해 미분 제거를 적용했다. 미분 그뢰브너 기저를 사용하여 연구자들은 비고전적인 대칭 특성을 비선형 미분 방정식에 대해 조사했다. 다른 응용 분야로는 제어 이론, 모델 이론, 대수 기하학 등이 있다. 미분 대수는 미분-차분 방정식에도 적용된다.

7. 3. 비선형 동적 시스템

카오스를 포함하는 비선형 동적 시스템 연구에서 연구자들은 미분 제거를 사용하여 미분 방정식을 단일 상태 변수를 포함하는 상미분 방정식으로 줄였다. 그들은 대부분의 경우 성공했으며, 이를 통해 근사해를 개발하고, 카오스를 효율적으로 평가하고, 랴푸노프 함수를 구성할 수 있었다.^[1] 연구자들은 세포 생물학, 구획 생화학 모델, 매개변수 추정 및 생화학 반응에 대한 준정상 상태 근사(QSSA)를 이해하기 위해 미분 제거를 적용했다.

8. 열린 문제

리트 문제란 두 소 미분 아이디얼이 특성 집합으로 식별될 때, 하나의 소 미분 아이디얼이 다른 소 미분 아이디얼을 포함하는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하는지를 묻는 문제이다.^[1]

콜친 연쇄 추측이란 $d>0$ 차원 기약 미분 대수적 다양체 $V$ 와 임의의 점 $p \in V$ 가 주어졌을 때, $p$ 에서 V까지 기약 미분 대수적 부분 다양체의 긴 틈새 연쇄가 발생한다는 것이다.

야코비 경계 추측이란 미분 다양체의 기약 성분의 차수에 대한 상한과 관련이 있으며, 다항식의 차수는 야코비 수를 결정하고, 이 추측은 야코비 수가 이 경계를 결정한다는 것이다.

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